Fractales fantásticos y dónde encontrarlos I

Autor: 

Por Kenneth Fowler Berenguer
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11 Agosto 2020
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“Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos y la corteza de los árboles no es lisa, ni los rayos viajan en línea recta”

Benoit Mandelbrot

Por Kenneth Fowler Berenguer (Este texto salió publicado originalmente en el blog Dando Teque y JT ha querido ponerlo al alcance de sus lectores)

 

Abrí una caja de pandora señores. Mi relación con la fractalidad comenzó cuando cursaba el último año del preuniversitario. Como parte del Colegio Universitario, nos llevaron a la entonces desconocida para nosotros Facultad de Química a recibir una conferencia sobre la Complejidad, el Caos y la Fractalidad en el Universo. Como es lógico todo eso pudo pasar inadvertido para un estudiante universitario, pero el profesor que impartía la conferencia fue compañero de secundaria de mi padre, así que me vi tentado a escucharle.

Sin embargo, no empecé a interesarme más en esto hasta el cuarto año de mi carrera. Tuve una profesora con una manera un poco suigéneris pero muy efectiva de atraer a lo que dice. Ella me impregnó de su pasión por estos temas como quien te “pega” el bostezo. Años después, hace unas semanas específicamente, me sorprendo pensando en este título; aparte de gracioso, creí que era algo muy interesante para compartir. Mas, nunca imaginé la caja de pandora que abriría. En cuestión de minutos tenía mi teléfono inundado de información, casi demasiada para solo un post.

La información es tan extensa y los ejemplos de la implicación de los fractales en la vida son tantos que en un post sería demasiado largo; y si quisiera reducirlo pecaría por omisión. Por eso quiero dividirlo en distintas partes, de las cuales la primera es esta, en la que quiero introducir el concepto de fractalidad y hablar un poco sobre algunos fractales geométricos que se pueden generar fácilmente con un papel y un lápiz. Creo que al final pueden quedarse con la mente tan revuelta como yo y podremos debatir mucho. ¿Me aguantan el teque?

¿Que es eso de la fractalidad?

Los fractales son objetos geométricos que se autorepiten. O sea, presentan una estructura aparentemente irregular, pero que se repite a distintas escalas. Todo esto se basa en el concepto matemático de la Autosimilitud.

En general, (existen otras propiedades, pero no voy a entrar en eso) un objeto fractal no puede ser descrito en términos de la geometría clásica y debe ser autosimilar, o sea que su forma superior está compuesta por formas más pequeñas idénticas entre sí en distintas escalas.

Es necesario que un objeto cumpla con todas las propiedades para ser descrito como fractal; por ejemplo una recta ideal no puede ser llamada un fractal porque, si bien es autosimilar (está compuesta por la unión de infinitas rectas menores que ella e iguales entre sí), se describe de manera sencilla con los supuestos matemáticos clásicos.

Existen, a gran escala, fractales matemáticos o ideales y fractales naturales, cuya mayor diferencia es que los primeros presentan la propiedad del detalle infinito mientras que en los segundos esto deja de cumplirse de manera tan cabal cuando se llega a la escala atómica.

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Foto: tomada de IBM100

El concepto de fractal que conocemos hoy fue acuñado por el matemático Benoit Mandelbrot en 1975 y desató un boom en el pensamiento científico y filosófico de los años 80, cuando el mundo le dio una mirada más cercana a otros conceptos como el caos y la complejidad. Pero, y aquí viene lo interesante, algunos de los ejemplos que vamos a ver ahora, además de ser simples, fueron descritos varios años antes de que se utilizara por primera vez el término fractal. Esto demuestra lo que muchos científicos y filósofos creen: que los seres humanos tenemos una inclinación casi subconsciente hacia la fractalidad.

Fractales geométricos que puedes generar con un papel y un lápiz

Un fractal matemático bien sencillo de generar es el conocido como dosel fractal.

  1. Simplemente tomamos un segmento y lo bifurcamos en dos más pequeños, realizando luego las iteraciones que queramos.
  2. El ángulo entre los segmentos debe ser el mismo en todo momento
  3. La razón entre la longitud de segmentos consecutivos debe ser constante
  4. Los puntos en los extremos de los segmentos más cortos deben estar interconectados
 
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Como curiosidad, el logo de la asociación religiosa Meitin Alliance for Growth and Learning (MAGAL)*Temple Shir Shalom utiliza este fractal.

En 1904 el matemático Helge von Koch describió una curva conocida actualmente como copo de nieve de Koch o estrella de Koch y que según los conceptos actuales puede ser llamada un fractal. Se construye de la siguiente manera:

  1. Se toma un segmento y se divide en tres partes iguales
  2. Se remplaza la parte central por dos partes de igual longitud con un ángulo de 60°
  3. Con los cuatro segmentos que resulten, se aplican iteraciones sucesivas (en la segunda iteración resultan 16 segmentos)
  4. Si se realiza esta operación partiendo de los tres lados de un triángulo equilátero, se obtienen el copo (cuando realizamos las iteraciones hacia el exterior del triángulo) y el anticopo (cuando las iteraciones son hechas hacia el interior del triángulo).
  5. Si se varían el ángulo o las dimensiones en que se itera, se pueden obtener variaciones de la estrella de Koch.

En las figuras se muestran las 4 primeras iteraciones del copo y el anticopo respectivamente.

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En 1916, el matemático polaco Wacław Sierpiński propuso un conjunto matemático al que hoy se llama Alfombra de Sierpiński. Para su construcción:

  1. Se toma un cuadrado
  2. Se le rodea por 8 cuadrados más pequeños como se muestra en la figura
  3. Se itera tantas veces se desee

De manera curiosa, existen las llamadas antenas fractales que usan estructuras como esta y encuentran aplicaciones en la microelectrónica al ofrecer, entre otras características, más ganancia que las antenas convencionales.

 
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El Triángulo de Sierpiński es otro de los fractales matemáticos que se pueden obtener de manera sencilla.

  1. Se unen los puntos medios de los lados de un triángulo, para obtener cuatro, de los cuales solo el del centro no tiene la misma orientación.
  2. Se repite la operación con todos los triángulos que mantengan la orientación del original
  3. Se itera tantas veces se desee
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El suelo de la Basílica romana de Santa Maria in Cosmedin está decorado con patrones que responden a la geometría del Triángulo de Sierpiński, aún habiendo sido construida entre los siglos VIII y IX. ¡Eso son 11 siglos antes de que el concepto del triángulo incluso se esbozara! ¿Qué loco, eh?

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El fractal de Vicsek, al igual que la Alfombra de Sierpiński, encuentra aplicación en la construcción de antenas fractales.

 
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Para generarlo:

  1. Se divide un cuadrado en una cuadrícula de 3x3 (para obtener nueve cuadrados)
  2. Se conserva el cuadrado del centro y los de las esquinas, y se eliminan los demás (ahora tenemos 5 cuadrados)
  3. Se repite la misma operación con cada cuadrado no eliminado
  4. Se itera tantas veces se desee
  5. De manera alternativa, en el segundo paso se pueden eliminar solo los cuadrados de las esquinas (ahora tenemos 5 cuadrados que forman una cruz + ). Sucesivas iteraciones de los dos métodos brindan la misma curva con una diferencia de 45°.
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El último ejemplo de hoy es el llamado Tamiz de Apollonio.

Para construirlo debemos primeramente:

  1. Trazar 3 circunferencias A, B y C que sean mutuamente tangentes (o sea que cada una sea tangente a las otras dos)
  2. Estas circunferencias tienen a su vez las llamadas circunferencias de Apollonio que son aquellas que son simultáneamente tangentes a las 3 originales. En este caso son las circunferencias D y E
  3. Si tomamos una tríada compuesta por dos de las circunferencias originales y una de sus circunferencias de Apollonio (por ejemplo A, B y E), esta, a su vez, tendrá sus propias circunferencias de Apollonio (una es la circunferencia C y la otra es la nueva circunferencia G)
  4. Si se cambian las parejas de circunferencias originales y se mantiene la E en la tríada se generan las circunferencias F y H
  5. A partir de aquí se puede iterar tantas veces se desee

Por comodidad, en el ejemplo, las circunferencias originales A, B y C tenían el mismo radio. Esto no es estrictamente necesario siempre que se cumpla que sean mutuamente tangentes. ¡Diviértanse!

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