¡Qué difíciles son las matemáticas! ¿Para qué sirven? ¿Para qué tengo que estudiar matemáticas en la escuela si a mí me gustan más las letras? Estas son algunas afirmaciones e interrogantes que se formulan muchas personas desde que comienzan su etapa escolar. El mundo a nuestro alrededor parece funcionar solo en aquellas direcciones en las que nos sentimos motivados; en las demás, parece que nada existe. ¿Y si el problema no está en lo difícil que resulte esta ciencia, sino en cómo se afronta?
Imagina que, durante tus años de estudiante, al abrir tu libro de matemáticas no solo estuvieras resolviendo ejercicios abstractos, sino descifrando el lenguaje secreto con el que está escrito el universo. Esta es, precisamente, la conexión que une el legado de un célebre matemático cubano, con la majestuosa danza de los planetas en nuestro Sistema Solar.
Acompáñame en un viaje para descubrir cómo la aritmética, el álgebra y la geometría, esas herramientas que este profesor enseñó a generaciones, se convierten en la llave maestra para comprender el movimiento de los astros. Te darás cuenta de que, más de ochenta años después, sus obras siguen siendo el primer paso hacia las estrellas.
Aurelio Baldor, el profesor que nos inculcó el amor por las matemáticas.
Antes de hablar del cosmos, es justo reconocer al hombre que facilitó este camino a millones de hispanohablantes. Aurelio Ángel Baldor de la Vega (La Habana, 1906 – Miami, 1978) fue un matemático, abogado y, sobre todo, un pedagogo apasionado. Su misión fue clara: enseñar matemáticas sin miedo.
Su obra cumbre, el Álgebra de Baldor, publicada en 1941, se convirtió en un texto de referencia en toda América Latina, con 39 capítulos, 5790 ejercicios y un enfoque gradual que construye el conocimiento desde sus cimientos. La genialidad de Baldor no fue crear nuevas matemáticas, sino organizar el saber existente con una claridad y una lógica interna excepcionales, volviendo accesible lo complejo. Junto con sus otros textos fundamentales, como la Aritmética, la Geometría plana y del espacio y la Trigonometría de Baldor, sus libros forman una biblioteca completa de las herramientas matemáticas esenciales.
El mismo Baldor era consciente de que estas disciplinas no eran fines en sí mismas, sino puentes hacia la comprensión del mundo. En la introducción de su libro de Geometría se destaca que, históricamente, la trigonometría era vital en América por su aplicación directa en la navegación y, significativamente, en la astronomía.
Aritmética: El lenguaje de los números del universo
La aritmética es la base de todo. Es el arte de contar y operar con números, y la astronomía está repleta de mediciones que desafían nuestra imaginación. Para entender el Sistema Solar, lo primero que necesitamos son datos: distancias, tamaños y, crucialmente, el tiempo.
Gracias a la aritmética, podemos calcular fenómenos como la órbita de la Tierra. Sabemos que tarda aproximadamente 365.25 días en dar una vuelta al Sol (un año) y que este movimiento define las estaciones. Las habilidades aritméticas que Baldor cultivó en sus estudiantes son las mismas que necesitaron astrónomos como Johannes Kepler para comparar los periodos orbitales de los distintos planetas.
Calculando el “abrazo” entre Marte y la Tierra con fracciones continuas
Para que todo esto no se quede en fórmulas abstractas, te propongo un ejercicio real, de esos que habrían fascinado al estudiantado en tiempos de Baldor: vamos a calcular cada cuántos años se produce un gran acercamiento entre Marte y la Tierra (lo que los astrónomos llaman una oposición perihelica). Usaremos únicamente aritmética y el ingenioso método de las fracciones continuas, una herramienta que transforma números “feos” en aproximaciones elegantemente exactas.
Paso 1: Los datos del reloj cósmico
Tomemos los períodos orbitales sidéreos, es decir, el tiempo real que cada planeta tarda en dar una vuelta completa alrededor del Sol:
· Tierra: 365.256 días.
· Marte: 686.980 días.
La razón entre ambos periodos nos dice cuántas vueltas da la Tierra por cada vuelta de Marte:
Este número significa que 1 año en Marte, son el equivalente a 1,88 años terrestres. Pero para que ambos planetas se vuelvan a encontrar en la misma posición relativa (una oposición, por ejemplo), necesitamos que la fracción sea exactamente un número racional. Aquí entran las fracciones continuas.
Paso 2: Descomponer la razón en una fracción continua
Buscamos expresar r como una “escalera” de fracciones. El procedimiento es pura aritmética de la que Baldor enseñaba: tomar la parte entera, invertir el residuo, repetir.
1. r = 1.8808. Parte entera: 1. Parte fraccionaria: 0,8808.
2. Invertimos el residuo:
Parte entera: 1. Parte fraccionaria: 0,1353.
3. Invertimos:
Parte entera: 7. Parte fraccionaria: 0,390.
4. Invertimos:
Parte entera: 2. Parte fraccionaria: 0,56.
Podemos detenernos aquí o seguir, pero ya tenemos un buen camino.
Los números enteros que hemos obtenido son: [1; 1, 7, 2]. Esto se escribe como la fracción continua:
Paso 3: Las convergentes, o las mejores aproximaciones racionales
Al cortar la fracción continua en cada escalón, obtenemos aproximaciones cada vez mejores valores de “r” mediante números enteros sencillos:
Paso 4: Interpretar el mensaje celestial
La fracción 15/8 nos dice que, en el tiempo en que Marte da aproximadamente 8 vueltas al Sol, la Tierra da aproximadamente 15 vueltas. Es decir, cada 15 años terrestres, la configuración relativa Marte-Tierra se repite casi idéntica.
Pero la naturaleza es un poco más sutil: la órbita de Marte es excéntrica y su acercamiento máximo a la Tierra ocurre cuando la oposición coincide con el perihelio marciano. Ese “gran abrazo” no sucede cada 15 años exactos, sino que la fracción continua nos revela un patrón más fino. La siguiente convergente, 32/17, sugiere un ciclo de 17 años. De hecho, los astrónomos observan que las oposiciones muy favorables se alternan en ciclos de 15, 17, 15, 17… años. La última fue en 2018, la anterior en 2003, y la próxima será en 2035 (¡de 17 en 17 años en este caso!). En 2003 Marte se acercó a 55.7 millones de kilómetros; en 2018, a 57.6 millones.
Lo prodigioso es que este baile de fechas, que parece caprichoso, está codificado en la sencilla razón de los períodos orbitales. Y con la aritmética de Baldor —sumar, dividir, invertir residuos— hemos leído el patrón. Las fracciones continuas nos permiten, sin resolver complejas ecuaciones diferenciales, encontrar las “resonancias” que sincronizan la danza de los planetas.
Álgebra: El arte de la ecuación cósmica
Si la aritmética maneja números concretos, el álgebra, usando letras para representar cantidades desconocidas o variables, nos permite formular leyes universales. Esta es la herramienta que Baldor definió como el estudio de “la cantidad considerada del modo más general posible”.
La aplicación más brillante del álgebra en el movimiento planetario la encontramos en la tercera ley de Kepler (1619). Esta ley establece que, para cualquier planeta, el cuadrado de su periodo orbital (T²) es directamente proporcional al cubo de la distancia media al Sol (a³). Esta relación se expresa con la siguiente fórmula matemática:
Esta simple pero poderosa ecuación es álgebra pura. Nos permite deducir, por ejemplo, que Júpiter, al estar 5.2 veces más lejos del Sol que la Tierra, tarda casi 12 años terrestres en completar una órbita. Aún más impresionante es cómo Isaac Newton, con las herramientas del álgebra y el cálculo, partió de esta fórmula para deducir su Ley de Gravitación Universal, demostrando que la fuerza que mantiene a los planetas en órbita es la misma que hace caer una manzana de un árbol.
Geometría y Trigonometría: Dibujando la danza de los planetas
Finalmente, la geometría y la trigonometría nos dan la capacidad de visualizar y medir el cosmos. Baldor, en su Geometría, enseña la importancia de entender la forma y las propiedades de las figuras.
La primera ley de Kepler (1609) es un enunciado geométrico revolucionario: “Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas. El Sol se encuentra en uno de los focos de la elipse”. Para entender esto, un estudiante debe saber qué es una elipse, cuáles son sus focos y su excentricidad. La ecuación canónica de la elipse, que se encuentra en los textos de geometría, es la representación algebraica de la forma que traza la Tierra en su viaje anual:
Por su parte, la segunda ley de Kepler, o ley de las áreas, afirma que una línea imaginaria que une un planeta y el Sol recorre áreas iguales en tiempos iguales. Esto explica con precisión geométrica por qué los planetas se mueven más rápido cuando están más cerca del Sol (perihelio) y más lento cuando están más lejos (afelio).
La trigonometría, con sus senos, cosenos y tangentes, es la herramienta que nos permite medir distancias inaccesibles. Así como Baldor la presentó como indispensable para la navegación y la astronomía, los astrónomos la han usado por siglos para triangular y calcular la distancia a estrellas y planetas, midiendo ángulos con una precisión extraordinaria.
La genialidad de la obra de Baldor reside en que, sin pretender escribir tratados de astronomía, construyó el andamiaje mental necesario para comprenderla. Nos enseñó a operar con números (aritmética), a generalizar sus relaciones (álgebra) y a visualizar sus formas (geometría). Y, como acabamos de ver con Marte, el arte de aproximar y jugar con fracciones —pura aritmética— nos revela los ritmos ocultos del Sistema Solar.
Si algo nos demuestra esta conexión, es que las matemáticas no son solo un conjunto de reglas abstractas, sino el lenguaje en el que está escrita la naturaleza. Y por ese mismo motivo, Baldor es y será el profesor que, en cada rincón de Hispanoamérica, nos enseñó las primeras palabras.
Referencias
Baldor, A. (1975). Aritmética Teórico Práctica. Ciudad de México: Publicaciones Culturales.
Baldor, A. (1997). Álgebra Elemental. Ciudad México: Publicaciones Culturales.
Baldor, A. (2004). Geometría Plana y del Espacio y Trigonometría. Ciudad de México: Publicaciones Culturales.