Por Arnaldo González Arias y Francisco Antonio Horta Rangel
El 4 y 5 de febrero de este año la Organización de las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura (UNESCO) inaugura las actividades por el Año Internacional de la Ciencia y Tecnología Cuánticas (IYQ por sus siglas en inglés, International Year of Quantum Science & Technology).[1]
La herramienta fundamental de esta rama del conocimiento es la Mecánica Cuántica, una teoría matemática dedicada al estudio del micromundo, tanto en la física como en la química, entendiéndose como tal aquel relacionado a átomos y moléculas, con independencia del estado de la materia en que se encuentran.
Para presentar la mecánica cuántica con un mínimo de detalles son necesarias algunas definiciones previas, así como hablar brevemente sobre cómo se obtienen los conocimientos en las ciencias ‘clásicas’, no cuánticas. En lo que sigue, un sistema es el objeto o conjunto de objetos que se desea estudiar. Puede ser un átomo, parte de una molécula, o cualquier otra cosa, a elección de quien lo elige. Algunas ciencias usan otros términos para conceptos similares; por ejemplo, cohorte en las ciencias médicas indica un grupo de estudio epidemiológico; mientras que un estudio estadístico se lleva a cabo en una población (de individuos, objetos o eventos).
La ciencia ‘clásica’
La mayoría de las personas están familiarizadas con los términos teoría, experimento, e hipótesis. Tratemos de puntualizarlos un poco más, ya que el proceso de obtención de conocimientos en cualquier ciencia (natural, social o médica) comprende, de manera general, los siguientes pasos:[2]
1. Observación: Se estudia en detalle el sistema seleccionado.
2. Hipótesis: Se elabora una suposición ‒ sobre la base de conocimientos anteriores ‒ acerca del porqué el sistema tiene las propiedades observadas o se comporta de esa manera.
3. Experimento: Se ejecuta un experimento controlado, donde se tratan de mantener invariables las influencias ajenas al comportamiento del parámetro específico que se desea estudiar en el sistema analizado. Hay situaciones donde no es posible realizar experimentos; éste se sustituye por una observación minuciosa.
4. Teoría: Sobre la base de ese resultado se intenta dar una explicación racional al comportamiento observado, que puede o no coincidir con lo supuesto en la hipótesis.
La teoría usualmente conduce a otros experimentos u observaciones, que sirven para reafirmarla o rechazarla. Así se va mejorando la teoría y se amplía poco a poco el conocimiento sobre el sistema, hasta que dejan de aparecer discrepancias y la teoría se convierte en ley. Es decir, si tal cosa ocurre, es porque tal otra tiene lugar, y viceversa; una ley se puede describir como una relación de causa y efecto entre objetos o sucesos.

Hay muchos ejemplos de leyes en la física, la química, la biología, la economía y en otras ciencias; ejemplos son las leyes de Newton, de Henry, de Mendel, y de Pareto. Muchas veces es posible representar estas relaciones de causa-efecto mediante fórmulas matemáticas, o valores numéricos, que las expresan de forma cualitativa y cuantitativa.
Una herramienta muy usual en la física clásica, como medio de trabajo para lograr una fórmula matemática que funcione, es el modelo idealizado. En el modelo se toma solo lo esencial del sistema considerado, de acuerdo con la propiedad que se desea estudiar; lo no esencial siempre se puede añadir después en forma de correcciones. Este método proporciona expresiones matemáticas que a menudo funcionan muy bien.
Un ejemplo simple es el modelo de la caída libre. Cuando no se toman en cuenta la resistencia del aire y la rotación de la tierra, de manera que la caída es completamente vertical, se obtiene una ecuación prácticamente exacta si las alturas h sobre la superficie terrestre son pequeñas:
h = ho + vot – ½ gt2.
En esta ecuación ho es la altura inicial en t = 0, vo la velocidad inicial (que puede ser positiva o negativa), g la aceleración causada por la fuerza de gravedad, que se supone constante, y h la altura en un instante t posterior al lanzamiento.
La mecánica cuántica
El término cuántica viene del latín quanta, plural de quantum (cantidad). Refleja el hecho de que en el micromundo la energía no puede tomar cualquier valor, sino sólo cantidades determinadas. Así lo muestra la evidencia experimental acumulada a lo largo de muchos años.
Y la cuestión esencial para comprender la mecánica cuántica y evitar confusiones es entender de entrada que funciona al revés de la ciencia clásica. Se basa en postulados y fórmulas matemáticas que aparecen al inicio, no al final como en el proceso clásico descrito antes; los modelos, en todo caso, aparecen después que se conoce la solución.
Por eso no es posible basarse en el esquema clásico para entender cómo funciona el esquema cuántico; hay que darle un giro de 180º a la manera de pensar. Además, son indispensables conocimientos matemáticos que no se pueden considerar básicos ni simplificarse como es, por ejemplo, el concepto de derivada parcial.
Los postulados esenciales de esta ‘mecánica’, que en nada se parece a la clásica, son los siguientes.[3],[4]
Postulado 1. La situación o estado de un sistema en un instante determinado t se describe por una función de onda compleja de variable real Y(q,t), donde q representa las coordenadas espaciales de una partícula en el instante t; (la partícula es tan pequeña que no se consideran sus dimensiones). Es decir, los valores de Y son números complejos del tipo a + ib o a-ib, donde i es la unidad imaginaria, i = .
La probabilidad p de que la partícula se encuentre en el volumen dV en el instante t viene dada por el producto de la función por su conjugada negativa (o positiva): [a+ib][a-ib], lo que proporciona un número real.

Postulado 2. Los parámetros físicos se representan por números complejos denominados operadores. Por ejemplo, el operador de la cantidad de movimiento p = mv de la partícula es p ̂=-iℏ ∂/∂q donde h/2π. El parámetro h es una constante física y ∂ significa derivada parcial. El operador de la energía es el Hamiltoniano H ̂=-ℏ^2/2m ∇^2+U(q), donde m es la masa de la partícula y U(q) su energía potencial en el campo de fuerzas que la esté afectando. El símbolo equivale al operador tridimensional Laplaciano: ∂^2/(∂q_1^2 )+∂^2/(∂q_2^2 )+∂^2/(∂q_3^2 ) .
Postulado 3. La evolución de la función de onda en el tiempo se obtiene a partir de la resolución de la ecuación de Schrödinger, iℏ (∂Ψ(q,t))/∂t=H ̂Ψ(q,t)
Postulados 4 y 5 se refieren a la interpretación de los resultados experimentales a partir de la aplicación de los operadores matemáticos.
Una explicación del origen del postulado 3 se puede encontrar en Wikipedia,[5] y el relato acerca de cómo evolucionaron los conocimientos hasta llegar a los criterios cuánticos se puede consultar en el capítulo inicial del libro que aparece en la referencia, así como en muchos textos de física moderna.[6],[7],[8]
El postulado 6 es el principio de exclusión de Pauli que, sin entrar en detalles, se refiere a la imposibilidad de que en un átomo existan dos electrones con todos sus parámetros cuánticos iguales.
Resultados que proporcionan la física y la química cuántica
La mecánica cuántica proporciona las probabilidad matemática de encontrar una partícula en algún lugar específico, así como los niveles energéticos o posibles valores de energía que puede tomar cuando se encuentra en diferentes sistemas.
La figura muestra el ejemplo más simple, el del electrón del átomo de hidrógeno en función de su distancia al núcleo atómico. A la izquierda, la densidad de probabilidad de encontrar al electrón a una determinada distancia del núcleo para diferentes energías; a la derecha, los diferentes niveles energéticos que predice la teoría y su relación con los valores experimentales que se obtienen en las mediciones del espectro de absorción atómica.
En esencia, esto es lo que se puede esperar en cualquier escenario: densidades de probabilidad y niveles energéticos. La relación entre la teoría y el experimento viene dada por la ecuación de Einstein ε = hν, donde ε es la energía del fotón y ν la frecuencia de la radiación emitida, que se puede medir de manera independiente por otros medios.

Al calcular la energía correspondiente a las líneas oscuras en el espectro de colores de la figura, que se corresponden con las frecuencias de las radiaciones que el electrón es capaz de absorber al ser irradiado, se encuentra que coinciden de manera sorprendente ‒ hasta en fracciones decimales ‒ con las diferencias o ‘saltos’ del electrón entre los niveles energéticos que proporciona la ecuación de Schrödinger, representados por las flechas rojas entre los niveles. Este es precisamente el resultado experimental que justifica la validez de toda la teoría anterior.
Vale la pena hacer notar que la energía tampoco es un objeto físico objetivo y material, sino un concepto subjetivo y abstracto. Por tanto, esta teoría no es capaz de predecir resultados materiales, sólo probabilidades y energías (y en algunos casos, valores medios); en general, esto siempre se cumple.
Este comportamiento es muy diferente al de la física clásica, que usualmente trabaja con objetos materiales y proporciona magnitudes medibles directamente. Por ejemplo, en la caída libre comentada antes, es posible ir midiendo directamente las distancias con una regla, o filmar la caída. Por su parte, la energía no se puede medir directamente con algún instrumento, ni filmarla o fotografiarla; sólo se puede calcular a partir de expresiones matemáticas que la relacionan con otros parámetros medibles directamente.
Enlaces moleculares, teoría de las bandas y otras teorías
La química cuántica estudia, entre otras, las propiedades ópticas, eléctricas y magnéticas, mecánicas, reactividad química, y características redox de átomos y moléculas. En este caso la mecánica cuántica se extiende a la teoría de los orbitales moleculares, que se complementa con la teoría de los enlaces de valencia.

En los espectros moleculares aparecen niveles energéticos adicionales ‒ usualmente en la región del infrarrojo ‒ a causa de las posibles rotaciones y vibraciones de la molécula.
En los sólidos, una extensión de la teoría cuántica permite explicar las diferencias entre aislantes, conductores y semiconductores (teoría de las bandas), un tema de estudio común en la física del estado sólido.[9]
En el micromundo se utiliza el electronvolt (eV) como medida de la energía; 1 eV ~ 1.6 x 10-19 joule. Si Eg es la diferencia de energía entre la energía mínima de la banda de conducción y la máxima de la banda de valencia, cuando Eg > 3 eV, los electrones no se pueden separar del átomo, no es posible la conducción eléctrica y el sólido es un aislante.
Por el contrario, si esas energías son tales que las bandas se solapan, los electrones se pueden desplazar en el seno del sólido y el sólido es un conductor (metales). El caso intermedio, cuando Eg < 3 eV, algunos pocos electrones pueden escapar de los átomos y pasar a la banda de conducción. En este caso el sólido es un semiconductor; conduce, pero con baja conductividad (germanio, carbono, silicio, selenio y otros). En la figura, cada banda está formada por niveles energéticos muy cercanos entre sí. La cercanía de los átomos en el sólido por debajo de cierto valor (c) causa interacciones que dan origen a la separación de los niveles y a la formación de las bandas.

La teoría cuántica también se aplica en otros lugares; la teoría cuántica de campos y la teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo curvo escapan al objetivo de esta breve síntesis.
Según apunta el sitio IYQ de la UNESCO, en este centenario de la ciencia y tecnología cuánticas la fotónica cuántica muestra avances en las imágenes médicas y el diagnóstico; la química cuántica trabaja en beneficio del desarrollo de nuevas vacunas y fármacos. Igualmente, considera que la ciencia cuántica es esencial para desarrollar nuevos materiales que guíen la innovación tecnológica, para asegurar las futuras estructuras financieras y económicas mediante información cuántica, para proporcionar computadoras cuánticas que mejorarán la exactitud de los modelos del clima a largo plazo, para monitorear el medio ambiente, y para desarrollar celdas solares y fuentes de luz más eficientes. Además, el sitio invita a todos participar de diversas formas en la celebración del centenario organizando actividades, eventos, o asistiendo a ellos.[10]
Bibliografía
[1] Opening Ceremony of the International Year of Quantum Science and Technology (IYQ), https://www.unesco.org/en/articles/opening-ceremony-international-year-quantum-science-and-technology
[2] González Arias, A., Use and misuse of the concept energy. Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 6, Suppl. I, August 2012, 394-402. http://www.lajpe.org/icpe2011/77_Arnaldo_Gonzalez.pdf
[3] Pedro J. Ortiz del Toro y Carlos S. Pérez Martínez, Química Cuántica, Tomos I y II, Editorial Universitaria Félix Varela, 2016.
[4] The Postulates of Quantum Mechanics, https://www.sydney.edu.au/science/chemistry/~mjtj/CHEM3117/Resources/postulates.pdf
[5] Wikipedia. Ecuación de Schrödinger, https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Schr%C3%B6dinger
[6] Moebs, W., Ling, S. J. & Sanny, J. (2021). Física universitaria. OpenStax. https://openstax.org/details/books/university-physics-volume-3
[7] Química: Comenzando con los átomos 2ed, https://openstax.org/details/books/química-comenzando-átomos-2ed
[8] Young, H.D. y Freedman, R.A. Física universitaria,vol 1, 13 ed., https://archive.org/details/FisicaUniversitariaSearsZemansky13aEdicionVol1/page/n3/mode/2up
[9] How energy bands are formed in solids? – www.mywebpathshala.com, https://mywebpathshala.com/how-energy-bands-are-formed-in-solids/
[10] Get Involved, https://quantum2025.org/get-involved/